Ernest Mach (1838-1916), filósofo, físico y matemático austriaco
Una de las innovaciones que introduce Mach en el campo de la mecánica, es la abolición del espacio absoluto como concepto abstracto, sostenido por Newton a fin de dar validez universal a sus leyes de la dinámica. Consideró al espacio y al tiempo absoluto como resabios antropomórficos de una etapa ya superada de la ciencia. Esa innovación conocida como «el principio de Mach»: La inercia total sobre un objeto dado, se debe a la acción de las restantes e innumerables masas del universo, en su totalidad. Este principio, en particular, exige que la inercia de la materia sea definida exclusivamente por las masas que la rodean.
Un objeto que gira en el universo, debido a su inercia, requiere una fuerza que lo acelere constantemente hacia el centro de giro.
El espacio absoluto idealizado, como sistema de referencia universal, propuesto por Newton, parecía una conclusión lógicamente inobjetable. Habrían de transcurrir casi 200 años hasta que el sagaz crítico de la mecánica clásica Ernst Mach llegara a oponer a la interpretación newtoniana un contrargumento, anticipando rudimentos de una importante idea de la mecánica de Einstein: la relativización de fuerzas, su dependencia de los sistemas de referencia, ¿la aceleración respecto a qué? el cuerpo opone resistencia sólo porque se acelera respecto a las estrellas inmóviles La respuesta correcta (que se puede leer en cualquier manual de física) sería la siguiente: respecto al sistema de referencia inercial. Pero el sistema inercial no es nada más que una oportuna noción abstracta. Dado un sistema de referencia inercial, cualquier otro que se mueva con aceleración lineal respecto al primero es no inercial.
Según Mach en cambio, el espacio absoluto está dado por todas las masas del universo, estableciéndose una relación entre ellas y las fuerzas inerciales que experimenta un objeto dado. Sin embargo, Mach no explicó, cómo estrellas situadas a muchos años luz de nosotros contribuían a la inercia observada en nuestro entorno. Fue Einstein quien acertadamente, atribuyó a la gravitación, el mecanismo que podría explicar dicha acción.
Este principio regiría en la totalidad del espacio isotrópico, sin direcciones privilegiadas, implicando una densidad de distribución media, uniforme a nivel universal.
Es como si toda la masa enorme de las estrellas originara el campo de las fuerzas inerciales. No se puede definir la inercia respecto al “espacio”, pero sí se puede definir la inercia de las masas respecto una a otra Si suponemos que el movimiento del resto del Universo influya al estado de cualquier partícula, entonces surge una serie de preguntas ¿Existe alguna relación recíproca entre las características de una partícula y el estado del resto del Universo? En caso de que se cambiara la cantidad de partículas en el Universo o la densidad de su distribución, ¿habría variado la carga del electrón o su masa o la energía de ligadura de nucleones? Dentro de nuestro Universo, una partícula elemental se mueve “casi” en línea recta y con la velocidad “casi” constante. Resulta que una partícula se mueve por inercia sólo debido a los esfuerzos comunes de todas las estrellas. Como cada estrella hace su contribución en el valor del potencial gravitatorio del Universo Ф, reduciendo, el fenómeno de la indeterminación, el valor de la constante de Planck. La nueva interpretación consiste en que el efecto gravitatorio de las estrellas y galaxias reduce la indeterminación en el movimiento de las partículas y como resultado, el fenómeno de la indeterminación se observa solamente en el micromundo. Principio de Mach, dio una nueva interpretación a la mecánica cuántica: la indeterminación en el micromundo es el resto del movimiento caótico de las partículas elementales después de la imposición del efecto gravitatorio de la masa enorme del Universo.
sábado, 14 de agosto de 2010
martes, 20 de julio de 2010
Decoherencia y Darwinismo cuántico
La física cuántica se está volviendo cada vez más colorida.
¿Cómo emerge el mundo clásico a partir del cuántico?
En el mundo microscópico una partícula no está en un sitio concreto, de hecho ni siquiera existe tal cosa como una partícula, sino una función de onda inmedible a partir de la cual podemos hallar la probabilidad de encontrar dicha partícula. Además, la función de ondas puede ser la superposición de varios estados que colapsan a uno solo cuando se efectúa una medida. Incluso podemos tener dos partículas entrelazadas situadas a distancia de tal modo que el resultado del colapso de una de ellas determina el de la otra en una extraña acción a distancia instantánea.
La realidad que percibimos, la silla sobre la que nos sentamos, la casa donde vivimos, la montaña que escalamos o el cuerpo de nuestra amada están hechos de átomos regidos en parte por los principios de la Mecánica Cuántica (MC). Todos esos objetos tienen una masa, un tamaño, un color, una forma o una textura y son incluso percibidos como “sólidos”, pese a que en su mayoría son espacio vacío con unas escasas partículas organizadas adecuadamente. Es decir, los percibimos en una manifestación clásica corriente. La fuerza nuclear en sus dos variantes y el electromagnetismo permiten organizarlas bajo las reglas de la MC en lo que finalmente percibimos como “la realidad”. Pero el mundo que percibimos con nuestros sentidos no tiene superposición de estados, ni colapso de funciones de ondas, ni acciones a distancia. En definitiva, no existen gatos de Schrödinger que esten muertos y que maullen al mismo tiempo. La paradoja está ahí.
Se define la propiedad de un sistema como 'objetiva', si esa propiedad es simultáneamente evidente para muchos observadores quienes pueden conocer acerca de ella sin saber con exactitud qué es lo que están observando, y sin haberse puesto de acuerdo en una forma para observarla.
Los físicos concuerdan en que el mundo macroscópico o clásico (el cual parece poseer un único y 'objetivo' estado) emerge a partir de los muchos estados posibles del mundo cuántico mediante un fenómeno llamado decoherencia, según el cual, las interacciones entre los estados cuánticos de un sistema en particular como su medio, actúan colapsando esos estados en un solo resultado. Sin embargo, este proceso de decoherencia aún no es del todo comprendido.
"La decoherencia selecciona estados estables de la 'ensalada' cuántica, que puedan resistir la inquisición del medio sin ser perturbados," dice Zurek. Estos estados especiales se llaman 'estados punteros', la representación de un fenomeno mensurable, real y observable, aunque son aún estados cuánticos, terminan por parecerse a los clásicos. Por ejemplo, los objetos en estados punteros parecen ocupar una posición bien definida, en vez de estar manchando el espacio.
La aproximación tradicional a la decoherencia, dice Zurek, se basaba en la idea de que la perturbación que provoca el entorno en un sistema cuántico elimina todos los estados con excepción de los punteros, los cuales pueden ser examinados directamente por un observador. Sin embargo, él y sus colegas indican que lo usual es conocer de un sistema indirectamente, esto es, observando el efecto del sistema en una pequeña región de su entorno.
Si al mirar un árbol, lo que hacemos es medir el reflejo, de la luz del Sol que rebota sobre el, al medir una partícula subatómica vemos el estado puntero: el reflejo de la onda de probabilidad sobre las partículas elementales que forman el mundo real.
Ahora, Zurek y sus colegas han demostrado un teorema matemático que muestra que los estados punteros efectivamente coinciden con los estados examinados gracias a las mediciones indirectas hechas sobre el entorno del sistema. "El entorno se modifica de manera que contenga la impresión, el reflejo de un estado puntero, la representación de la probabilidad de un fenomeno mensurable, real" dice.
Objetivamente hablando
Eso sí, este proceso por sí solo, llamado por los investigadores 'superselección inducida por el entorno', no es suficiente para garantizar una realidad objetiva. No basta con que un estado puntero sea impreso en el medio: deben haber muchas de esas impresiones, para que muchos distintos observadores puedan ver lo mismo.
Felizmente, esto tiende a ocurrir de manera automática, si nunca se corre el riesgo de agotar todos los fotones rebotando de un árbol, sin importar a cuánta gente congreguemos para observarle, tampoco las ondas de probabilidad que alcanzan el estado puntero, dejan de expandirse hacia el espacio que la rodea: hacer una impresión no impide hacer una siguiente, para ser captada por muchos observadores de manera independiente y simultánea
--Philip Ball-- Nature Publishing Groups, 23 de Diciembre de 2004. Traducción de Germán Vogel y Andreas Reisenegger para Profísica (6 de Marzo de 2005)
Un posible escenario ha sido investigado por Adam Burke, Gil Speyer, Tim Day, Richard Akis, Gil Speyer, Brian Bennett y David Ferry. Sus resultados experimentales han sido publicados en Physical Review Letters y apoyan lo que se llama darwinismo cuántico.
Describen la transición del estado cuántico al clásico como un proceso de decoherencia en el que está implicada una forma de reproducción análoga a la selección natural descrita en la evolución biológica de Darwin.
Los autores utilizan dos teorías denominadas decoherencia y darwinismo cuántico, ambas propuestas por Wojciech Zurek de Los Alamos National Laboratory. A través de un proceso de selección, ciertos estados cuánticos aparecen en un estado final estable, denominado puntero (en programación es un tipo de dato que corresponde a una dirección de memoria que a su vez referencia a un dato), o también estado diamante (pues el electron en estado puntero describe un patrón romboidal), que está lo suficientemente “adaptado al medio”, es decir repetido, multicopiado, como para ser transmitido a través del medio sin que se pierda.
Estos estados simples con la mínima energía pueden entonces hacer copias de alta energía de sí mismos que pueden ser descritas mediante un proceso darwinista (se perpetuan los que mas hijos, mas copias de si mismos hacen) y que, si, son mensurables.
Podemos utilizar una analogía propuesta por Burke para poder entender mejor lo que ha hecho este grupo de investigadores:
Imaginemos que una mesa de billar es un punto cuántico (punto a través del cual pueden entrar o salir electrones) y los dos contactos electricos del equipo, son las dos únicas troneras por donde pueden entrar y salir los electrones. Las paredes interiores actúan a modo de barreras en donde los electrones rebotan. Además, en la mesa de billar no hay fricción y un electron puede rebotar indefinidamente en su interior. De este modo, un electrón entrante con una trayectoria dada permanecerá en el interior hasta que abandone la mesa (decoherencia: pasa a ser mensurable). O puede que la trayectoria entrante sea tal que no le sea posible alcanzar una tronera para salir y quede como una probabilidad, como una simple función de onda.
Uno puede imaginar que podemos contar las bolas que hay entre las paredes interiores de la mesa de billar. Estos investigadores las contaron, es decir, midieron la conductancia del sistema formado por el punto cuántico y su ambiente (el número de “bolas de billar” por segundo), para tratar de ver cómo cambiaba según movían una sonda sobre la “mesa de billar”. Contaban con el efecto de un microscopio de puerta de barrido, que aplica un pequeño campo eléctrico que se puede visualizar como una pequeña pared o barrera circular en la mesa de billar que se puede mover a voluntad dentro de la propia mesa de billar (el punto cuántico).
Una bola ( una onda de probabilidad, que representa la posición y la trayectoria del electrón) que está viajando a lo largo de la mesa de billar es perturbada si la barrera circular (microscopio) es situado en su trayectoria. Cuando esto pasa, puede ocurrir (que la onda de probabilidad dentro del punto cuántico se altere) y la bola (la trayectoria del electrón) tome un nuevo curso dentro de la mesa de billar que la haga salir por una de las troneras para ser medida, es decir, se haga real y produzca un cambio en la conductancia, en el número de bolas (electrones) que salen (que el microscopio mide) en un tiempo dado.
Como la ubicación de la barrera se va cambiando con un barrido, a modo similar al barrido de las antiguas pantallas de televisión, se puede levantar un mapa de las funciones de onda marcadas correspondientes a los estados punteros. De vez en cuando, un nuevo electrón pasará a estado diamante (patrón romboidal), así que las medidas pueden continuar hasta que el área al completo quede cubierta por el barrido.
Los hallazgos, según Burke y Ferry, abren la puerta hacia una comprensión más profunda de lo que realmente está sucediendo en el corazón de la realidad física, de la transición del mundo cuántico al clásico.
Copyleft: atribuir con enlace a http://neofronteras.com/?p=3190
Ahora hay una prueba de que los estados estables y mensurables se extienden sobre dos puntos cuánticos y crean vástagos, dicen los investigadores del instituto de física en la Universidad de Leoben, junto con colegas de la Universidad Estatal de Arizona. Esto respalda la noción de lo que se conoce como Darwinismo Cuántico: la selección y la reproducción de los estados cuánticos por la manera en que nuestra realidad es percibida.
Los puntos cuánticos son estructuras nanoscópicas tan pequeñas que están sujetas a leyes de la física cuántica. Esto significa, entre otras cosas, que los electrones en los puntos cuánticos asumen estados con específicos valores de energía. Si estos estados de los electrones son medidos, interactúan con el entorno. Como resultado de esta interacción, algunos estados de los electrones se mezclan unos con otros o con los del entorno, y se vuelven muy indefinidos. Otros de los estados originales conservan sus valores de energía. Éstos son conocidos como "estados punteros" y, hasta ahora, sólo se podía probar que existían para puntos cuánticos únicos.
Relaciones estables
El equipo del instituto de física de la Universidad de Leoben y de la Universidad Estatal de Arizona dicen que han logrado demostrar la existencia de nuevas clases de estados punteros en puntos cuánticos acoplados como "estados punteros bipartitos". Son un descubrimiento excitante porque se extienden sobre más de dos puntos cuánticos y representan un análogo de las moléculas. Su interacción con el entorno significa que pueden ser medidos", explica el Dr. Roland Brunner, miembro del equipo del profesor Friedemar Kuchar.
Crear vástagos
El equipo también consiguió encontrar señales claras de Darwinismo Cuántico, o sea la noción de que durante la interacción con el entorno sólo los estados punteros permanecen estables y pueden crear vástagos. Para proporcionar una prueba de esta idea, el grupo que trabajaba con Brunner y Kuchar calculó las densidades de probabilidad de medir un electrón, en varios puntos cuánticos en serie y demostró que el patrón era idéntico para muchas ondas diferentes de electrones. En otras palabras, los vástagos (las muchas ondas diferentes) del estado puntero están presentes. Este resultado es internacionalmente aceptado como prueba de que el Darwinismo Cuántico en realidad existe. Una confirmación adicional de la creación de esos vástagos fue proporcionada por este proyecto.
Estos resultados de un proyecto de Austrian Science Fund FWF fueron publicados recientemente en las Physical Review Letters y los investigadores dicen que jugará un rol en el futuro desarrollo de la tecnología cuántica de información.
Fuente: Scientific Blogging. Aportado por Graciela Lorenzo Tillard
¿Cómo emerge el mundo clásico a partir del cuántico?
En el mundo microscópico una partícula no está en un sitio concreto, de hecho ni siquiera existe tal cosa como una partícula, sino una función de onda inmedible a partir de la cual podemos hallar la probabilidad de encontrar dicha partícula. Además, la función de ondas puede ser la superposición de varios estados que colapsan a uno solo cuando se efectúa una medida. Incluso podemos tener dos partículas entrelazadas situadas a distancia de tal modo que el resultado del colapso de una de ellas determina el de la otra en una extraña acción a distancia instantánea.
La realidad que percibimos, la silla sobre la que nos sentamos, la casa donde vivimos, la montaña que escalamos o el cuerpo de nuestra amada están hechos de átomos regidos en parte por los principios de la Mecánica Cuántica (MC). Todos esos objetos tienen una masa, un tamaño, un color, una forma o una textura y son incluso percibidos como “sólidos”, pese a que en su mayoría son espacio vacío con unas escasas partículas organizadas adecuadamente. Es decir, los percibimos en una manifestación clásica corriente. La fuerza nuclear en sus dos variantes y el electromagnetismo permiten organizarlas bajo las reglas de la MC en lo que finalmente percibimos como “la realidad”. Pero el mundo que percibimos con nuestros sentidos no tiene superposición de estados, ni colapso de funciones de ondas, ni acciones a distancia. En definitiva, no existen gatos de Schrödinger que esten muertos y que maullen al mismo tiempo. La paradoja está ahí.
Se define la propiedad de un sistema como 'objetiva', si esa propiedad es simultáneamente evidente para muchos observadores quienes pueden conocer acerca de ella sin saber con exactitud qué es lo que están observando, y sin haberse puesto de acuerdo en una forma para observarla.
Los físicos concuerdan en que el mundo macroscópico o clásico (el cual parece poseer un único y 'objetivo' estado) emerge a partir de los muchos estados posibles del mundo cuántico mediante un fenómeno llamado decoherencia, según el cual, las interacciones entre los estados cuánticos de un sistema en particular como su medio, actúan colapsando esos estados en un solo resultado. Sin embargo, este proceso de decoherencia aún no es del todo comprendido.
"La decoherencia selecciona estados estables de la 'ensalada' cuántica, que puedan resistir la inquisición del medio sin ser perturbados," dice Zurek. Estos estados especiales se llaman 'estados punteros', la representación de un fenomeno mensurable, real y observable, aunque son aún estados cuánticos, terminan por parecerse a los clásicos. Por ejemplo, los objetos en estados punteros parecen ocupar una posición bien definida, en vez de estar manchando el espacio.
La aproximación tradicional a la decoherencia, dice Zurek, se basaba en la idea de que la perturbación que provoca el entorno en un sistema cuántico elimina todos los estados con excepción de los punteros, los cuales pueden ser examinados directamente por un observador. Sin embargo, él y sus colegas indican que lo usual es conocer de un sistema indirectamente, esto es, observando el efecto del sistema en una pequeña región de su entorno.
Si al mirar un árbol, lo que hacemos es medir el reflejo, de la luz del Sol que rebota sobre el, al medir una partícula subatómica vemos el estado puntero: el reflejo de la onda de probabilidad sobre las partículas elementales que forman el mundo real.
Ahora, Zurek y sus colegas han demostrado un teorema matemático que muestra que los estados punteros efectivamente coinciden con los estados examinados gracias a las mediciones indirectas hechas sobre el entorno del sistema. "El entorno se modifica de manera que contenga la impresión, el reflejo de un estado puntero, la representación de la probabilidad de un fenomeno mensurable, real" dice.
Objetivamente hablando
Eso sí, este proceso por sí solo, llamado por los investigadores 'superselección inducida por el entorno', no es suficiente para garantizar una realidad objetiva. No basta con que un estado puntero sea impreso en el medio: deben haber muchas de esas impresiones, para que muchos distintos observadores puedan ver lo mismo.
Felizmente, esto tiende a ocurrir de manera automática, si nunca se corre el riesgo de agotar todos los fotones rebotando de un árbol, sin importar a cuánta gente congreguemos para observarle, tampoco las ondas de probabilidad que alcanzan el estado puntero, dejan de expandirse hacia el espacio que la rodea: hacer una impresión no impide hacer una siguiente, para ser captada por muchos observadores de manera independiente y simultánea
--Philip Ball-- Nature Publishing Groups, 23 de Diciembre de 2004. Traducción de Germán Vogel y Andreas Reisenegger para Profísica (6 de Marzo de 2005)
Un posible escenario ha sido investigado por Adam Burke, Gil Speyer, Tim Day, Richard Akis, Gil Speyer, Brian Bennett y David Ferry. Sus resultados experimentales han sido publicados en Physical Review Letters y apoyan lo que se llama darwinismo cuántico.
Describen la transición del estado cuántico al clásico como un proceso de decoherencia en el que está implicada una forma de reproducción análoga a la selección natural descrita en la evolución biológica de Darwin.
Los autores utilizan dos teorías denominadas decoherencia y darwinismo cuántico, ambas propuestas por Wojciech Zurek de Los Alamos National Laboratory. A través de un proceso de selección, ciertos estados cuánticos aparecen en un estado final estable, denominado puntero (en programación es un tipo de dato que corresponde a una dirección de memoria que a su vez referencia a un dato), o también estado diamante (pues el electron en estado puntero describe un patrón romboidal), que está lo suficientemente “adaptado al medio”, es decir repetido, multicopiado, como para ser transmitido a través del medio sin que se pierda.
Estos estados simples con la mínima energía pueden entonces hacer copias de alta energía de sí mismos que pueden ser descritas mediante un proceso darwinista (se perpetuan los que mas hijos, mas copias de si mismos hacen) y que, si, son mensurables.
Podemos utilizar una analogía propuesta por Burke para poder entender mejor lo que ha hecho este grupo de investigadores:
Imaginemos que una mesa de billar es un punto cuántico (punto a través del cual pueden entrar o salir electrones) y los dos contactos electricos del equipo, son las dos únicas troneras por donde pueden entrar y salir los electrones. Las paredes interiores actúan a modo de barreras en donde los electrones rebotan. Además, en la mesa de billar no hay fricción y un electron puede rebotar indefinidamente en su interior. De este modo, un electrón entrante con una trayectoria dada permanecerá en el interior hasta que abandone la mesa (decoherencia: pasa a ser mensurable). O puede que la trayectoria entrante sea tal que no le sea posible alcanzar una tronera para salir y quede como una probabilidad, como una simple función de onda.
Uno puede imaginar que podemos contar las bolas que hay entre las paredes interiores de la mesa de billar. Estos investigadores las contaron, es decir, midieron la conductancia del sistema formado por el punto cuántico y su ambiente (el número de “bolas de billar” por segundo), para tratar de ver cómo cambiaba según movían una sonda sobre la “mesa de billar”. Contaban con el efecto de un microscopio de puerta de barrido, que aplica un pequeño campo eléctrico que se puede visualizar como una pequeña pared o barrera circular en la mesa de billar que se puede mover a voluntad dentro de la propia mesa de billar (el punto cuántico).
Una bola ( una onda de probabilidad, que representa la posición y la trayectoria del electrón) que está viajando a lo largo de la mesa de billar es perturbada si la barrera circular (microscopio) es situado en su trayectoria. Cuando esto pasa, puede ocurrir (que la onda de probabilidad dentro del punto cuántico se altere) y la bola (la trayectoria del electrón) tome un nuevo curso dentro de la mesa de billar que la haga salir por una de las troneras para ser medida, es decir, se haga real y produzca un cambio en la conductancia, en el número de bolas (electrones) que salen (que el microscopio mide) en un tiempo dado.
Como la ubicación de la barrera se va cambiando con un barrido, a modo similar al barrido de las antiguas pantallas de televisión, se puede levantar un mapa de las funciones de onda marcadas correspondientes a los estados punteros. De vez en cuando, un nuevo electrón pasará a estado diamante (patrón romboidal), así que las medidas pueden continuar hasta que el área al completo quede cubierta por el barrido.
Los hallazgos, según Burke y Ferry, abren la puerta hacia una comprensión más profunda de lo que realmente está sucediendo en el corazón de la realidad física, de la transición del mundo cuántico al clásico.
Copyleft: atribuir con enlace a http://neofronteras.com/?p=3190
Ahora hay una prueba de que los estados estables y mensurables se extienden sobre dos puntos cuánticos y crean vástagos, dicen los investigadores del instituto de física en la Universidad de Leoben, junto con colegas de la Universidad Estatal de Arizona. Esto respalda la noción de lo que se conoce como Darwinismo Cuántico: la selección y la reproducción de los estados cuánticos por la manera en que nuestra realidad es percibida.
Los puntos cuánticos son estructuras nanoscópicas tan pequeñas que están sujetas a leyes de la física cuántica. Esto significa, entre otras cosas, que los electrones en los puntos cuánticos asumen estados con específicos valores de energía. Si estos estados de los electrones son medidos, interactúan con el entorno. Como resultado de esta interacción, algunos estados de los electrones se mezclan unos con otros o con los del entorno, y se vuelven muy indefinidos. Otros de los estados originales conservan sus valores de energía. Éstos son conocidos como "estados punteros" y, hasta ahora, sólo se podía probar que existían para puntos cuánticos únicos.
Relaciones estables
El equipo del instituto de física de la Universidad de Leoben y de la Universidad Estatal de Arizona dicen que han logrado demostrar la existencia de nuevas clases de estados punteros en puntos cuánticos acoplados como "estados punteros bipartitos". Son un descubrimiento excitante porque se extienden sobre más de dos puntos cuánticos y representan un análogo de las moléculas. Su interacción con el entorno significa que pueden ser medidos", explica el Dr. Roland Brunner, miembro del equipo del profesor Friedemar Kuchar.
Crear vástagos
El equipo también consiguió encontrar señales claras de Darwinismo Cuántico, o sea la noción de que durante la interacción con el entorno sólo los estados punteros permanecen estables y pueden crear vástagos. Para proporcionar una prueba de esta idea, el grupo que trabajaba con Brunner y Kuchar calculó las densidades de probabilidad de medir un electrón, en varios puntos cuánticos en serie y demostró que el patrón era idéntico para muchas ondas diferentes de electrones. En otras palabras, los vástagos (las muchas ondas diferentes) del estado puntero están presentes. Este resultado es internacionalmente aceptado como prueba de que el Darwinismo Cuántico en realidad existe. Una confirmación adicional de la creación de esos vástagos fue proporcionada por este proyecto.
Estos resultados de un proyecto de Austrian Science Fund FWF fueron publicados recientemente en las Physical Review Letters y los investigadores dicen que jugará un rol en el futuro desarrollo de la tecnología cuántica de información.
Fuente: Scientific Blogging. Aportado por Graciela Lorenzo Tillard
jueves, 13 de mayo de 2010
"El Presente es lo desconocido". David Bohm
Percepción holokinetica.
Para el cerebro el espacio y el tiempo significan: Percepción, percepción del presente como si fueran los infinitos futuros posibles.Intuición es la súbita comprensión, por ejemplo, de lo que significa un pensamiento o un deseo o un miedo o una rabia de uno mismo o bien puede ser la intuición que tiene un matemático cuando formula su teorema, como la intuición que tuvo Einstein cuando vio la Relatividad al revolver el te, en el movimiento de las hojas en el fondo de su taza, o la intuición de David Bohm cuando pensó en ¿que ocurriría si tratara de moverme al mismo tiempo, en ambos sentidos, y con la misma fuerza?¿Si pudiera persistir en ese acto de inteligencia, entonces ¿qué ocurriría? ¿Qué clase de observación se va desarrollando cuando el organismo funciona como un todo sensorial, con todos los sentidos completamente activos, concientes? ¿Si pudiera percibir no solamente el suelo bajo mis pies, sino todo lo que existe a mi alrededor al mismo tiempo?
¿Si pudiera permitirme que todo mi organismo sea simplemente mis cinco sentidos, concientemente, al mismo tiempo y de una manera constante. Desaparece la división entre el observador y lo observado, porque el observador se disuelve en la observación.
Esta sensibilidad inteligente que se mueve con la realidad implicada mas allá de la figura y el fondo, realidad que, para nosotros es, simplemente, mirar y escuchar... y sentir simultáneamente, simplemente, como un pez en el agua. Darse cuenta de manera vivencial, que la percepción por la percepción misma, es acción. Queda la inteligencia siendo movimiento, la pura acción, el darse cuenta del contacto del cuerpo con el espacio, de la totalidad del sonido, del campo visual y de la tristeza sin llamarles sonido, imagen, tristeza, darse cuenta de cada palabra que surge en el cerebro, sin absorberse en ellas, todo al mismo tiempo. Es la percepción sin elección de lo que es perceptible, solo PESO, SONIDO, CAMPO VISUAL, y su verbalización, al mismo tiempo. Percibir que lo único que es constante es el cambio, que sólo está el instante que muere y no hay duelo por el instante perdido.
Y también terminando la experiencia, simplemente cuando una nueva intuición, me vuelva a la porción de la realidad cotidiana que es explicable, repetible y regulable, no extensa y abarcadora, sino intensa y dolorosamente intensificable.
Errores más frecuentes:
No se trata de “ir sumando sonidos, percepciones”, sino de conciencia de la percepción de todo sonido perceptible, de asumir que “El sonido”, “La realidad” es lo que esta presente. El primer y el último paso es la Percepción. El primer y el último beneficio es la Percepción.
La Percepción es reunir todas las percepciones en una sola, la actual, una forma de vida que (paradojalmente), uno intenta solo cuando recuerda que quiere intentarla, durante el día, sin esfuerzo ni expectativa, mientras realiza cualquier actividad. Se intenta de instante en instante, no puede ser inducido, es comprensible sólo en el intento mismo y cuando uno vuelve a concentrarse en las tareas cotidianas, desaparece la percepción holistica
Es necesario dejar tranquila la respiración en particular, y las posturas corporales en general; si uno se concentra en ellas, sale de la holistica.
No debemos concentrarnos en alguna de las palabras que surgen mientras se escucha la totalidad del sonido, el arbol no deja ver el bosque. Lo que se percibe es todo lo que hay... Si no existe esta comprensión, por lo general el Yo se apropia de la acción, y volvemos a lo cotidiano. “Es que: el pensamiento me gana”... El monólogo interno tiende a cesar por instantes cuando la función pensamiento ocurre al mismo tiempo que la función percepción. La observación del pensamiento como un sonido más, sin juzgar, sin intención de cambiar lo pensado, permite la integración entre el Pensamiento y el Pensador.
Sin tiempo entre el evento que es el flujo de la realidad y el observador, por ende, sin división entre el observador y lo observado, “corrupto” significa “roto en dos”. El observador es parte de lo observado, el pensamiento, un sonido más, solo algo a experimentar.
La Percepción se define como “percibir todo lo perceptible, al mismo tiempo, ya mismo, en completo silencio, sin esfuerzo ni expectativa”.
Entonces no hay tal separación entre creación (energia) y lo creado (materia). El yo, el pensador surge del seno del pensamiento y lo que hay que observar es a ese pensamiento, que llega a la conciencia sin pensador perceptible. El niño no comienza diciendo “Yo, Yo quiero agua”. Antes dice “agua”, “niño quiere agua”. Si comprendemos que lo que hay es pensamiento y no pensador, se libera una gran energía, la comprensión en flujo y sin esfuerzo.
No debe haber compulsión alguna. Cada vez que actuamos con gran inteligencia y compasión, estamos construyendo los cimientos psicológicos de la nueva sociedad necesaria.
Y sino, es mejor no actuar.
Para el cerebro el espacio y el tiempo significan: Percepción, percepción del presente como si fueran los infinitos futuros posibles.Intuición es la súbita comprensión, por ejemplo, de lo que significa un pensamiento o un deseo o un miedo o una rabia de uno mismo o bien puede ser la intuición que tiene un matemático cuando formula su teorema, como la intuición que tuvo Einstein cuando vio la Relatividad al revolver el te, en el movimiento de las hojas en el fondo de su taza, o la intuición de David Bohm cuando pensó en ¿que ocurriría si tratara de moverme al mismo tiempo, en ambos sentidos, y con la misma fuerza?¿Si pudiera persistir en ese acto de inteligencia, entonces ¿qué ocurriría? ¿Qué clase de observación se va desarrollando cuando el organismo funciona como un todo sensorial, con todos los sentidos completamente activos, concientes? ¿Si pudiera percibir no solamente el suelo bajo mis pies, sino todo lo que existe a mi alrededor al mismo tiempo?
¿Si pudiera permitirme que todo mi organismo sea simplemente mis cinco sentidos, concientemente, al mismo tiempo y de una manera constante. Desaparece la división entre el observador y lo observado, porque el observador se disuelve en la observación.
Esta sensibilidad inteligente que se mueve con la realidad implicada mas allá de la figura y el fondo, realidad que, para nosotros es, simplemente, mirar y escuchar... y sentir simultáneamente, simplemente, como un pez en el agua. Darse cuenta de manera vivencial, que la percepción por la percepción misma, es acción. Queda la inteligencia siendo movimiento, la pura acción, el darse cuenta del contacto del cuerpo con el espacio, de la totalidad del sonido, del campo visual y de la tristeza sin llamarles sonido, imagen, tristeza, darse cuenta de cada palabra que surge en el cerebro, sin absorberse en ellas, todo al mismo tiempo. Es la percepción sin elección de lo que es perceptible, solo PESO, SONIDO, CAMPO VISUAL, y su verbalización, al mismo tiempo. Percibir que lo único que es constante es el cambio, que sólo está el instante que muere y no hay duelo por el instante perdido.
Y también terminando la experiencia, simplemente cuando una nueva intuición, me vuelva a la porción de la realidad cotidiana que es explicable, repetible y regulable, no extensa y abarcadora, sino intensa y dolorosamente intensificable.
Errores más frecuentes:
No se trata de “ir sumando sonidos, percepciones”, sino de conciencia de la percepción de todo sonido perceptible, de asumir que “El sonido”, “La realidad” es lo que esta presente. El primer y el último paso es la Percepción. El primer y el último beneficio es la Percepción.
La Percepción es reunir todas las percepciones en una sola, la actual, una forma de vida que (paradojalmente), uno intenta solo cuando recuerda que quiere intentarla, durante el día, sin esfuerzo ni expectativa, mientras realiza cualquier actividad. Se intenta de instante en instante, no puede ser inducido, es comprensible sólo en el intento mismo y cuando uno vuelve a concentrarse en las tareas cotidianas, desaparece la percepción holistica
Es necesario dejar tranquila la respiración en particular, y las posturas corporales en general; si uno se concentra en ellas, sale de la holistica.
No debemos concentrarnos en alguna de las palabras que surgen mientras se escucha la totalidad del sonido, el arbol no deja ver el bosque. Lo que se percibe es todo lo que hay... Si no existe esta comprensión, por lo general el Yo se apropia de la acción, y volvemos a lo cotidiano. “Es que: el pensamiento me gana”... El monólogo interno tiende a cesar por instantes cuando la función pensamiento ocurre al mismo tiempo que la función percepción. La observación del pensamiento como un sonido más, sin juzgar, sin intención de cambiar lo pensado, permite la integración entre el Pensamiento y el Pensador.
Sin tiempo entre el evento que es el flujo de la realidad y el observador, por ende, sin división entre el observador y lo observado, “corrupto” significa “roto en dos”. El observador es parte de lo observado, el pensamiento, un sonido más, solo algo a experimentar.
La Percepción se define como “percibir todo lo perceptible, al mismo tiempo, ya mismo, en completo silencio, sin esfuerzo ni expectativa”.
Entonces no hay tal separación entre creación (energia) y lo creado (materia). El yo, el pensador surge del seno del pensamiento y lo que hay que observar es a ese pensamiento, que llega a la conciencia sin pensador perceptible. El niño no comienza diciendo “Yo, Yo quiero agua”. Antes dice “agua”, “niño quiere agua”. Si comprendemos que lo que hay es pensamiento y no pensador, se libera una gran energía, la comprensión en flujo y sin esfuerzo.
No debe haber compulsión alguna. Cada vez que actuamos con gran inteligencia y compasión, estamos construyendo los cimientos psicológicos de la nueva sociedad necesaria.
Y sino, es mejor no actuar.
El orden implicado.
"Por favor, dinos cómo vamos a terminar"
“¿Es que ustedes ya saben cómo comenzar?”
Diálogo con el Cantautor Facundo Cabral
El "de aquí hasta aquí", el "movimiento inmovil" (formulado en Física por el Prof. David Bohm con el nombre de Holokinesis). Significa que en lugar de distancia y tiempo lo que existe es la totalidad no dividida en movimiento fluyente (Holokinesis), o sea, el movimiento que ocurre de aquí hasta aquí en todo el cosmos entre dos órdenes de la realidad, el orden implicado y el explicado. El orden implicado es la unidad de la energía, el cuanto, que se explica o manifiesta como orden explicado en múltiples intensidades y formas de energía: calor, luz, gravitación, etc.
El que en una molécula de hidrógeno compuesta por dos átomos, al separarlos y modificar el spin del átomo A, al mismo tiempo cambia el spin del átomo B nos muestra que el espacio es uno, es decir no está dividido y que el tiempo es irrelevante. Ambos átomos continúan unidos en una relación a-local y simultanea, muestran que el espacio es uno y el tiempo irrelevante.
Imaginemos una pecera con un pez dentro flanqueado por dos cámaras de video, con sus respectivas pantallas ubicadas en otra habitación, donde estamos nosotros que no vemos de donde vienen las imágenes. En las pantallas, solo veremos, un pez en cada pantalla y luego notaremos una correlación de los movimientos de “ambos peces” (de las imágenes en las pantallas de ambos televisores). Obviamente esta “correlación” se explica porque ambas imágenes son la “representación” del mismo pez (el de la pecera, que esta en la habitación que no vemos), y no es que, , la imagen A “cause” el movimiento de la imagen B, o viceversa, según cual de las pantallas miremos primero, como nos muestra la teoría de la relatividad, sino que ambas imágenes son proyecciones o representaciones bidimensionales de la misma realidad tridimensional (el mismo pez). También los átomos A y B de hidrógeno, a su vez son, para algunos físicos, proyecciones o manifestaciones tridimensionales de una realidad multidimensional Hemos propuesto aquí en juego un orden implicado. Del cual se podría decir que todo está plegado en su interior. Esto contrasta con el orden explicado, en el cual las cosas están desplegadas en el sentido de que cada cosa sólo está en su región particular del espacio (y del tiempo), y fuera de las regiones que pertenecen a las otras cosas.
“¿Es que ustedes ya saben cómo comenzar?”
Diálogo con el Cantautor Facundo Cabral
El "de aquí hasta aquí", el "movimiento inmovil" (formulado en Física por el Prof. David Bohm con el nombre de Holokinesis). Significa que en lugar de distancia y tiempo lo que existe es la totalidad no dividida en movimiento fluyente (Holokinesis), o sea, el movimiento que ocurre de aquí hasta aquí en todo el cosmos entre dos órdenes de la realidad, el orden implicado y el explicado. El orden implicado es la unidad de la energía, el cuanto, que se explica o manifiesta como orden explicado en múltiples intensidades y formas de energía: calor, luz, gravitación, etc.
El que en una molécula de hidrógeno compuesta por dos átomos, al separarlos y modificar el spin del átomo A, al mismo tiempo cambia el spin del átomo B nos muestra que el espacio es uno, es decir no está dividido y que el tiempo es irrelevante. Ambos átomos continúan unidos en una relación a-local y simultanea, muestran que el espacio es uno y el tiempo irrelevante.
Imaginemos una pecera con un pez dentro flanqueado por dos cámaras de video, con sus respectivas pantallas ubicadas en otra habitación, donde estamos nosotros que no vemos de donde vienen las imágenes. En las pantallas, solo veremos, un pez en cada pantalla y luego notaremos una correlación de los movimientos de “ambos peces” (de las imágenes en las pantallas de ambos televisores). Obviamente esta “correlación” se explica porque ambas imágenes son la “representación” del mismo pez (el de la pecera, que esta en la habitación que no vemos), y no es que, , la imagen A “cause” el movimiento de la imagen B, o viceversa, según cual de las pantallas miremos primero, como nos muestra la teoría de la relatividad, sino que ambas imágenes son proyecciones o representaciones bidimensionales de la misma realidad tridimensional (el mismo pez). También los átomos A y B de hidrógeno, a su vez son, para algunos físicos, proyecciones o manifestaciones tridimensionales de una realidad multidimensional Hemos propuesto aquí en juego un orden implicado. Del cual se podría decir que todo está plegado en su interior. Esto contrasta con el orden explicado, en el cual las cosas están desplegadas en el sentido de que cada cosa sólo está en su región particular del espacio (y del tiempo), y fuera de las regiones que pertenecen a las otras cosas.
viernes, 18 de septiembre de 2009
Principios de Mecanica Bomiana
Holonomia
Todo el universo esta sometido a las mismas normas (es real): Un sistema se dice holonomo, o bien, sometido a ligaduras holónomas, si las condiciones de ligadura pueden ser expresadas mediante ecuaciones matemáticas entre sus coordenadas o ecuaciones diferenciales integrables.
Un sistema se dice que es esclerónomo si las condiciones de ligadura son independientes del tiempo.
Un sistema holonomo esclerónomo es un sistema sometido a condiciones de ligadura independientes del tiempo expresables mediante relaciones matemáticas entre sus coordenadas.
Todo el universo esta sometido a las mismas normas (es real): Un sistema se dice holonomo, o bien, sometido a ligaduras holónomas, si las condiciones de ligadura pueden ser expresadas mediante ecuaciones matemáticas entre sus coordenadas o ecuaciones diferenciales integrables.
Un sistema se dice que es esclerónomo si las condiciones de ligadura son independientes del tiempo.
Un sistema holonomo esclerónomo es un sistema sometido a condiciones de ligadura independientes del tiempo expresables mediante relaciones matemáticas entre sus coordenadas.
Se llama espacio de configuración de un sistema de partículas al espacio conformado por sus coordenadas generalizadas, velocidades generalizadas y tiempo.
jueves, 17 de septiembre de 2009
5.1 RIEMANN
Las geometrías no euclidianas no serían plenamente integradas a las principales líneas del desarrollo de las matemáticas hasta el trabajo realizado por el alemán Georg Bernhard Riemann (1826-1866). Riemann fue el hijo de un pastor luterano, aunque nació enfermizo poseía una inteligencia precoz. Fue estudiante de Gauss en la Universidad de Göttingen y luego logró ser profesor de esa prestigiosa institución alemana.
Georg Bernhard Riemann
(1826-1866)
Riemann contribuyó directamente a la generación de nuevas geometrías de una forma muy amplia.Una recta esférica es un círculo grande. No posee principio ni fin. Es ilimitada, pero no es infinita.
Sobre la esfera.
No hay paralelas
Al igual que Gauss, Bolyai y Lobachevsky asumió un postulado contrario al quinto de Euclides. Pero en lugar de asumir que existe un número infinito de rectas paralelas que pasan por un punto exterior a una recta dada, asumió que no pasaba ninguna. Para Riemann, estaba en mayor acuerdo con la realidad el que no existiera ninguna recta paralela. Es decir, si se extendieran las rectas tarde o temprano se cortarían.
Esta era la hipótesis del ángulo obtuso de Saccheri.
Pero Riemann no se quedó ahí. Saccheri había combinado este axioma (dos rectas se cortan) con los otros 9 euclídeos, mientras Riemann propuso un cambio adicional. Si era válido dudar del quinto postulado ¿por qué no era posible dudar de los otros?. Eso hizo con relación al segundo postulado.
Recordemos que en la geometría euclidiana:
"Es posible extender un segmento de recta a una recta''.
Es decir, de un segmento podemos obtener un recta infinita. Riemann pensó que lo que realmente podemos garantizar no es una recta infinita, sino más bien que el proceso de extender un segmento no posee fin. Hizo una distinción muy sutil entre entre longitud infinita y longitud ilimitada o inacabable. Por ejemplo: uno puede recorrer un círculo ilimitadamente pero el círculo posee una longitud finita. De esta manera, Riemann enfatizó una dimensión especial del concepto de recta; éstas aquí no son longitudes infinitas sino ilimitadas.
Armado con la reformulación de estos dos nuevos postulados creó una nueva geometría no euclidiana.
Como usaba postulados euclidianos, al igual que con las otras geometrías no euclidianas, obtenía resultados euclidianos; como, por ejemplo, el criterio de congruencia de triángulos 
Por supuesto, también resultados no euclidianos, por ejemplo:
La suma de los ángulos de un triángulo es siempre mayor de 180 grados.
Esta suma, además, varía de acuerdo al tamaño del triángulo. Conforme hacemos el triángulo de menor área, la suma se hace más pequeña, cercana a 0 cuando el área tiende a 0.
Otro resultado:
Dos triángulos semejantes son congruentes.
Esto sucede también en la geometría de Lovachevsky.
Este es el tipo de geometría con el que nos familiarizaremos en el siguiente capítulo, a través de una representación de la misma.
La geometría diferencial
Riemann hizo más que crear una nueva geometría: colocó a las geometrías no euclidianas en un marco teórico más general. Ya no se trataba de que se cumpliera el postulado de las paralelas o no, Riemann preconizaba un cambio de visión total sobre la geometría. Para Riemann la geometría ya no debía ser sobre puntos o las rectas del espacio como solemos conocerlo, la geometría debía tratar de lo que se llama variedades. Vamos a ver algunos aspectos de esta historia.
Gauss había realizado mucho trabajo en la construcción de mapas y la llamada geodesia. Y de aquí se engendraría un nuevo enfoque sobre el sentido del espacio.
El asunto tiene que ver con el Cálculo Diferencial e Integral, creado por Newton y Leibniz en el siglo XVIII. El concepto clave es el de "geometría diferencial'' (término llamado así por primera vez por Luigi Bianchi, 1856-1928, en 1894).
Este tema se podría definir como el estudio de las propiedades de las curvas y superficies que varían de un punto a otro. Cuando se da este tipo de variación (de punto en punto) se utiliza las técnicas del Cálculo. Se trataba de una temática que nacía del desarrollo del Cálculo pero que tenía importantes implicaciones en la geometría misma.
Para que se tenga una idea: el cálculo de rectas normales o tangentes, puntos de inflexión (de cambio de concavidad), curvaturas, serían los asuntos de la geometría diferencial en un plano.
Los mismos asuntos se pueden estudiar en el espacio de tres dimensiones.
Todos estos asuntos tenían una importancia vital en física, mecánica y en la confección de mapas.
Por ejemplo, consideremos el problema de representar en un plano (una hoja) la esfera; lo cual sería parecido a poner en un mapa el planeta Tierra.
Era claro desde antes del siglo XVIII que esto no se podía hacer preservando las propiedades geométricas de la esfera en el plano (de la Tierra en el mapa). Pero sí hay algunas propiedades geometricas que sí se preservan en esta representación en el plano. Por ejemplo, los ángulos.
En efecto, el interés se volcó durante muchos años hacia las representaciones que permitían preservar los ángulos de las curvas consideradas. J. H. Lambert, Euler, Lagrange y muchos otros matemáticos del siglo XVIII buscaron avanzar en estos temas tan apreciados para la cartografía.
De la esfera al plano.
La superficie como espacio
En 1827, Gauss escribió su formidable artículo sobre la geometría diferencial en las superficies: Disquisitiones Generales circa Superficies Curvas (Investigaciones generales sobre superficies curvas). Aquí dio Gauss una nueva idea que sería usada por Riemann: una superficie se podía ver como un espacio en sí mismo.
En 1854, Riemann dio una conferencia en Göttingen para optar a la categoría de Privatdozent (profesor). Gauss, quien le había dado a Riemann como tema de estudio los fundamentos de la geometría, estuvo presente. El trabajo sin embargo no fue publicado sino hasta 1868 y fue intitulado Über die Hypothesen, welche der Geometrie zu Grunde liegen (Acerca de las hipótesis que están en los fundamentos de la geometría).
La geometría euclidiana es empírica
Riemann al igual que Gauss asoció geometría con mecánica, pero fue más lejos que Gauss. Riemann trató de demostrar que los axiomas específicos de Euclides eran empíricos y no autoevidentes y necesarios en sí mismos al margen de la experiencia.
Su estrategia fue buscar qué era lo realmente a priori en la geometría del espacio y estudiar sus consecuencias. Cualesquiera otras propiedades del espacio no eran a priori y entonces serían de naturaleza empírica. Es decir, ver lo realmente necesario y autoevidente, y una vez resuelto esto hacer ver que lo que quedaba fuera solo podía ser empírico.
Por pedazos
En su investigación Riemann concluyó que para estudiar el espacio debía hacerse localmente y no como un todo. Es decir, se debía analizar el espacio por pedazos. No se podía dar resultados aplicables para todo el espacio. Esto era precisamente lo que hacía la llamada geometría diferencial al estudiar las propiedades de las curvas y superficies en el espacio.
Usando bastantes resultados de Gauss en la geometría de las superficies en un espacio euclidiano, Riemann generalizó este tipo de resultados.
Una variedad diferencial era precisamente uno de esos pedazos a estudio. Habló entonces de una geometría de 
dimensiones (aunque el caso de mayor interés era el de tres dimensiones).
Una variedad está compuesta por puntos con 
coordenadas. 
; en 3 dimensiones los puntos son de la forma 
.
El conjunto de puntos forma una variedad.
Las variedades eran el concepto más general y éstas poseían un conjunto de propiedades aplicables a cualquier variedad. Este conjunto era las propiedades necesarias y autoevidentes que Riemann andaba buscando.
Espacio físico como ejemplo de variedad
Riemann demuestra que el espacio físico es un caso específico de variedad y, entonces, concluye que la geometría del espacio no puede ser deducida del conjunto de propiedades generales de las variedades.
William Clifford
(1845-1879)
Para Riemann estas propiedades que distinguen el espacio físico de otras variedades de tres dimensiones deben ser obtenidas por medio de la experiencia. Puesto de otra forma: la experiencia es la que debe decidir si las propiedades específicas que sintetiza la geometría euclidiana corresponden a la realidad o no.
Los axiomas de la geometría euclidiana pueden corresponder o no con la realidad que nos rodea. Descubrir eso, decía Riemann, no es un asunto para la geometría sino para la física.
Una nueva visión del espacio
Esto planteaba una visión del espacio muy diferente de la que incluso hoy en día nos resulta natural. El matemático inglés William K. Clifford afirmaba las siguientes propiedades del espacio físico que probablemente coincidirían con las de Riemann:
El espacio es una superficie en promedio plana pero donde existen unas pequeñas porciones que son como pequeñas colinas.
Esta propiedad de ser curvo o distorsionado se pasa de una porción del espacio a otra como hace una onda.
La variación de la curvatura del espacio es lo que pasa en el movimiento de la materia.
En este mundo físico esta variación es lo único que se da, además de la ley de la continuidad.
La conclusión que se obtiene frente a un espacio que cumpla lo anterior es muy importante. Se trata de un espacio donde la curvatura varía de lugar en lugar y, debido al movimiento de la materia, la curvatura cambia también de tiempo en tiempo. Es decir: hay variación debida al espacio y al tiempo. Es imposible que las leyes de la geometría euclidiana se puedan aplicar en un espacio así concebido.
Entonces, la conclusión es muy fuerte: la geometría euclidiana no es la geometría del espacio que nos rodea.
Esto es un resultado maravilloso. Estudiar el espacio debe hacerse tomando en cuenta estas colinas y honduras.
La asociación entre espacio y materia, que señalamos en Clifford y Riemann, condujo en la dirección de la teoría de la relatividad.
La Botella de Klein es una superficie que posee una sola cara. Extraño ¿no es cierto?
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